Posts in category: aljabar

🔊 play

Dalam bentuk aljabar juga ada bentuk aljabar pecahan. Ketika membagi 4x + 6 dengan 2x + 8 kita tidak mendapatkan hasil seperti pada kegiatan 4. Dalam hal ini hasil baginya bisa disajikan dalam bentuk aljabar pecahan (4x+6)/(2x+8). Bentuk pecahan (4x+6)/(2x+8) bisa kita ubah menjadi bentuk yang lebih sederhana dengan cara membagi dua pembilang dan penyebutnya, menjadi (2x+3)/(x+4).

🔊 play
Bentuk (2x+3)/(x+4) dikatakan lebih sederhana karena mengandung bilangan-bilangan yang lebih sederhana (dekat dengan nol) dari bentuk sebelumnya. Namun, memiliki nilai yang sama dengan bentuk (4x+6)/(2x+8). Selain itu, suatu bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung operasi yang lebih sedikit. Penyederhanaan bentuk aljabar sebenarnya sama dengan penyederhanaan bilangan.

🔊 play

Untuk memahami proses penyederhanaan berikut, sebaiknya ingat kembali sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar.

🔊 play

Untuk mengetahui cara menyederhanakan pecahan bentuk aljabar perhatikan dan pahami uraian berikut.
Menyederhanakan bentuk a/b (bentuk rasional)
Contoh pada bilangan:
Petunjuk
28/36= (2^2 ×7)/(2^2 ×9) faktorisasi bilangan di pembilang dan penyebut untuk menentukan bilangan yang sama yaitu 2^2
= 7/9 sederhanakan bentuk yang sama tersebut karena hasil bagi 2^2/2^2 =1.
Lakukan hal yang sama di bentuk aljabar untuk menyederhanakannya.
Petunjuk:
8/(2x+4)=⋯ gunakan sifat distributif di penyebut
bilangan yang sama dipembilang dan penyebut adalah 2, lalu sederhanakan bilangan tersebut di pembilang dan penyebut karena hasil bagi 2/2=1

Petunjuk:

(2x+2)/(x^2+4x+3)=⋯ gunakan sifat distributif di pembilang
lakukan faktorisasi di penyebut
faktor yang sama dipembilang dan penyebut adalah x+1, lalu sederhanakan faktor tersebut dipembilang dan penyebut karena hasil bagi (x+1)/(x+1)=1

Menjumlahkan atau mengurangkan bentuk rasional yang memuat bentuk aljabar.
a/b+  c/d=  (ad+bc)/bd  
a/b-  c/d=  (ad-bc)/bd,dengan b ≠0,d≠0

Contoh:
1/2x+ 3/2x= (1+3)/2x= 4/2x= ((2)(2))/((2)(x))= 2/x

5/3x- 2/4x= 5(4)/3x(4) – 2(3)/4x(3) = 20/12x- 6/12x= (20-6)/12x= 14/12x= (2)(7)/(2)(6x) = 7/6x

Mengalikan bentuk-bentuk rasional yang memuat bentuk aljabar.

a/b × c/d= (a×c)/(b×d),dengan b≠0,d≠0,c≠0
Contoh:
24m/7 × 14/6m= (24m ×14)/(7 ×6m)= ((4)×(6)×(2)×(7)×(m))/((7)×(6)×(m))= (4×2)/(1×1)= 8/1=8

Membagi bentuk-bentuk rasional yang memuat bentuk aljabar

a/b÷ c/d= a/b × d/c= (a×d)/(b×c),dengan b≠0,d≠0,c≠0
Contoh:
〖4a〗^3/b÷a/b^3 = 〖4a〗^3/b×b^3/a= ((〖4a〗^2)(a)×(b^2)(b))/(b×a)= (〖4a〗^2×b^2)/(1×1)= 〖4a〗^2 b^2

🔊 play

Pada bilangan, pembagian merupakan kebalikan dari perkalian. Contohnya,
6 ∶ 2 = 3 karena 3 × 2 = 6
6 ∶ (−2) = −3 karena −3 × (−2) = 6
Makna yang sama juga untuk bentuk aljabar:
(x^2 + 5x + 6) ∶(x + 2) =(x + 3) karena (x + 3)( x + 2) = x^2 + 5x + 6
(x^2 + 5x + 6) ∶( x + 3) =(x + 2) karena (x + 2)( x + 3) = x^2 + 5x + 6
Bentuk aljabar 𝑥 + 2 dan 𝑥 + 3 disebut faktor-faktor dari x^2 + 5x + 6 karena kedua bentuk aljabar tersebut habis membagi x^2 + 5x + 6. Proses mencari faktor-faktor dari suatu bentuk aljabar disebut faktorisasi.
Sebelum mengikuti Kegiatan 4 lebih jauh, silakan kalian baca kembali masalah luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir yang disajikan di pengamatan Kegiatan 3.

🔊 play

Jika informasi pada permasalahan tersebut diubah, yang diketahui adalah luas = x^2 + 5x – 300 satuan luas, dan panjangnya = x + 20 satuan panjang, kalian diminta untuk menentuk bentuk aljabar dari lebarnya. Bagaimana langkah kalian untuk menentukan lebarnya?

🔊 play

Penyelesaian
seperti yang kita ketahui luas = panjang x lebar. Dapat kita tulis
lebar= luas/panjang
Lebar tanah Pak Tohir dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari luas tanah dengan bentuk aljabar dari panjang.
lebar= (x^2 + 5x – 300 )/(x+20)=x-15 dengan x+20 ≠0
Pada kegiatan tersebut, kita telah menentukan hasil bagi x^2 + 5x – 300 oleh x + 20 adalah x – 15. Bagaimana dengan bentuk yang lain

Misal:
Hasil bagi 〖2x〗^2+7x-15 oleh x+5
Hasil bagi 〖6x〗^2-7x-24 oleh 3x-8

🔊 play

Sebelumnya kita telah belajar bahwa perkalian merupakan penjumlahan berulang. Contohnya,
3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6
2 × 3 = 3 + 3 = 6
dengan makna yang sama,
3 × 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 + y = 3y
Perhatikan permasalahan berikut.

🔊 play

Pak Idris mempunyai kebun apel berbentuk persegi dan Pak Tohir mempunyai kebun jeruk berbentuk persegi panjang. Ukuran panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 m lebih dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Sedangkan lebarnya, 15 m kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris. Jika diketah i kedua luas kebun Pak Idris dan Pak Tohir adalah sama, maka tentukan luas kebun apel Pak Idris?

[responsivevoice voice="Indonesian Male" buttontext="play"]

Penyelesaian:
Untuk memecahkan persoalan tersebut bisa dengan memisalkan panjang sisi kebun apel Pak Idris dengan suatu variabel, misal variabel x. Panjang kebun jeruk Pak Tohir 20 meter lebih panjang dari panjang sisi kebun apel bisa ditulis x + 20. Lebarnya 15 meter kurang dari panjang sisi kebun apel Pak Idris bisa ditulis x − 15.
Seperti yang kita ketahui bahwa luas persegi panjang adalah panjang × lebar. Namun dalam permasalahan menentukan panjang sisi kebun tersebut, kita sedikit mengalami kesulitan karena yang dikalikan adalah bentuk aljabar. Dalam permasalah tersebut luas kebun Pak Tohir adalah hasil kali dari x + 20 dengan x − 15.
Cara 1
Luas kebun Pak Tohir dapat ditulis dalam bentuk aljabar
Luas = panjang × lebar
= (x + 20) × (x – 15)
= x^2 – 15x + 20x – 300
= x^2 + 5x – 300 satuan luas
Jadi, luas kebun Pak Tohir adalah x^2 + 5x – 300 satuan luas

🔊 play

Cara 2
Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas kebun Pak Tohir dengan cara perkalian bersusun seperti berikut.
x + 20
x – 15 x
-15x – 300
x^2 + 20x +
x^2 + 5x – 300
Jadi, luas kebun Pak Tohir adalah x^2 + 5x – 300 satuan luas

Dari kedua cara tersebut, silakan menggunakan cara yang menurut kalian paling mudah.
Karena diketahui luas kebun apel Pak Idris sama dengan luas kebun jeruk Pak Tohir, maka didapat:
Luas kebun apel Pak Idris = Luas kebun jeruk pak Tohir
〖(x)〗^2= x^2 + 5x – 300
x^2 = x^2 + 5x – 300
x^2- x^2 = 5x – 300
0 = 5x – 300
5x = 300
x = 60
Jadi, luas kebun apel Pak Idris adalah 〖(x)〗^2=〖(60)〗^2=3.600 satuan luas.

Secara umum hasil perkalian bentuk aljabar (x + a) × (x + b) mengikuti proses berikut.

Sifat-sifat Operasi Hitung Bentuk Aljabar

🔊 play

Operasi penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar memiliki beberapa sifat, antara lain:

1. Sifat Komutatif
   a. a + b = b + a
   b. a × b = b × a
   (Sudah ditunjukkan di depan)
2. Sifat Asosiatif
   a. a + (b + c) = (a + b) + c
   b. a × (b × c) = (a × b) × c
   (Silakan cek)
3. Sifat Distributif (perkalian terhadap penjumlahan)
   a × (b + c) = a × b + a × c
   atau
   a(b + c) = ab + ac

🔊 play

Banyak sekali masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar. Misalkan dalam dunia perbankan, perdagangan di pasar, produksi suatu perusahaan, dan lain sebagainya.

🔊 play

Pak Basuki merupakan seorang pemborong beras yang sukses di desa Suka Makmur. Pak Basuki mendapatkan pesanan dari pedagang pasar Kliwon dan Pon di hari yang bersamaan. Pedagang pasar Kliwon memesan 20 karung beras, sedangkan pedagang pasar Pon memesan 25 karung beras. Besar yang sekarang tersedia di gudang Pak Basuki hanya 23 karung beras saja.

Misalkan x adalah massa tiap karung beras. Nyatakan dalam bentuk aljabar:
a. Total beras yang dipesan kepada Pak Basuki
b. Sisa beras yang ada digudang Pak Basuki jika memenuhi pesanan pedagang pasar Kliwon saja.
c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Basuki jika memenuhi pesanan pedagang pasar Pon saja.

🔊 play

Penyelesaian
Misal:
x menyatakan massa tiap karung beras.
Diketahui:
Pedagang pasar Kliwon memesan 20 karung beras = 20x
pedagang pasar Pon memesan 25 karung beras = 25x
Beras yang tersedia di gudang Pak Basuki 23 karung beras = 23x
Maka,
a. Total beras yang dipesan kepada Pak Basuki adalah 20x + 25x atau 35x kilogram beras.
b. Sisa beras yang ada digudang Pak Basuki jika memenuhi pesanan pedagang pasar Kliwon saja, maka 3 karung beras atau 3x kilogram beras.
c. Kekurangan beras yang dibutuhkan Pak Basuki jika memenuhi pesanan pedagang pasar Pon saja adalah 2 karung beras atau (-2x) kilogram beras. (tanda negatif menyatakan kekurangan)

Pada masalah 4 diatas terdapat operasi antara bentuk aljabar, yaitu:

1. Penjumlahan (20x) + (25x) = 45x
2. Pengurangan (23x) – (20x) = 3x
3. Pengurangan (23x) – (25x) = -2x
   Bentuk 23x – 20x dan 23x – 25x bisa ditulis penjumlahan dua bentuk aljabar, menjadi (23x) + (-20x) dan (23x) + (-25x).

Lalu, bagaimana menjumlahkan atau mengurangkan bentuk aljabar jika terdapat lebih dari satu suku? Perhatikan permasalahan berikut

🔊 play

Hari ini Aqila berulang tahun yang ke-13 tahun. Sebagai ucap syukur, Aqila membagikan sejumlah kotak donat dan kotak cokelat kepada temannya. Ifa mendapat 3 kotak donat dan 2 kotak cokelat. Dina mendapat 2 kotak donat dan 3 kotak cokelat. Jika banyak donat dalam kotak donat dinyatakan dengan x dan banyaknya cokelat dalam kotak cokelat dinyatakan dengan y. Dan banyak donat dan cokelat pada setiap kotak sama.

Tentukan:
a. Jumlah seluruh kotak donat dan kotak cokelat yang dibagikan oleh Aqila
b. Jika sesampai rumah Ifa membagikan 1 kotak donat dan 1 kotak cokelat kepada adiknya, berapa sisa kotak donat dan kotak cokelat yang dimiliki Ifa?

🔊 play

Penyelesaian:
Misal:
x menyatakan banyak donat dalam kotak donat
y menyatakan banyak cokelat dalam kotak cokelat
Diketahui:
Ifa mendapat 3 kotak donat dan 2 kotak cokelat = 3x + 2y
Dina mendapat 2 kotak donat dan 3 kotak cokelat = 2x + 3y
Maka,
a. Jumlah seluruh kotak donat dan kotak cokelat yang dibagikan oleh Aqila

🔊 play

Cara:
(3x + 2y) + (2x + 3y) = 3x + 2y + 2x + 3y jabarkan
= 3x + 2x + 2y + 3y kumpulkan suku sejenis
= 5x + 5y operasikan suku sejenis
Jadi, jumlah seluruh kotak donat dan kotak cokelat yang dibagikan Aqila adalah 5x + 5y artinya 5 kotak donat dan 5 kotak cokelat

b. Jika sesampai rumah Ifa membagikan 1 kotak donat dan 1 kotak cokelat kepada adiknya = x + y erapa sisa kotak donat dan kotak cokelat yang dimiliki Ifa?
Cara:
(3x + 2y) – (x + y) = 3x + 2y – x – y jabarkan
= 3x – x + 2y – y kumpulkan suku sejenis
= 2x + y operasikan suku sejenis
Jadi, cara menjumlahkan atau mengurangkan bentuk aljabar jika terdapat lebih dari satu suku adalah:

1. Jabarkan operasi penjumlahan/pengurangan sesuai yang diminta soal
2. Kumpulkan suku sejenis
3. Operasikan suku sejenis
4. Sederhanakan

🔊 play Pembagian Apel

Bu Halimah mempunyai sekeranjang apel. Bu Halimah ingin membagikan apel yang ia miliki tersebut kepada setiap orang yang ia temui. Setengah keranjang ditambah satu apel untuk orang pertama. Kemudian setengah dari sisanya ditambah satu, ia berikan kepada orang kedua yang ia temui. Selanjutnya, setengah dari sisanya ditambah satu, diberikan kepada orang ketiga yang ia temui. Sekarang, Bu Halimah hanya memiliki satu apel untuk ia makan sendiri. Tentukan banyak apel semula.

🔊 play Kita mungkin bisa memecahkan permasalahan tersebut dengan cara mencoba-coba dengan suatu bilangan. Namun berapa bilangan yang harus kita coba, tidak jelas. Cara tersebut terlalu lama, tidak efektif, dan terkesan kebetulan. 🔊 play Lalu, bagaimana cara memecahkan masalah tersebut? Kita bisa memecahkan persoalan tersebut dengan cara membuat bentuk matematisnya. Bentuk tersebut selanjutnya disebut dengan bentuk aljabar, dan operasi yang digunakan memecahkan disebut operasi aljabar.

Bentuk Aljabar

🔊 play Suatu ketika terjadi percakapan antara Lani dan Lina. Mereka berdua baru saja membeli buku disuatu toko grosir.

Lani     : “Lina, kelihatannya beli pensil

banyak sekali.”

Lina     : “Iya, Lani. Ini pesanan dari

koperasi sekolah tempat saya bekerja. Saya membeli tiga kardus pensil dan 2 pensil. Lina beli apa saja?”

Lani     : “Saya hanya membeli 5 pensil, Lina. Pensil ini untuk adik saya yang kelas VII SMP.”

🔊 play Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang menyatakan banyak pensil dengan satuan yang berbeda. Lina menyatakan jumlah pensil dalam satuan kardus, sedangkan Lani langsung menyebutkan banyak pensil yang ia beli dalam satuan pensil.

Karena banyaknya pensil dalam satu kardus belum diketahui, maka kita dapat memisalkan dengan simbol x yang menyatakan banyak pensil yang ada didalam kardus. Sehingga bentuk aljabarnya menjadi

Pembeli	Lina	Lani
Membeli	kardus pensil dan 2 pensil	5 Pensil
Bentuk Aljabar	3x + 2	5

🔊 play Simbol x tersubut bisa mewakili sebarang bilangan, yakni sebagai berikut.

Jika x = 10, maka

Jika x = 15, maka

Jika x = 20, maka

Nilai pada bentuk aljabar diatas bergantung pada nilai x.

🔊 play Di sekitar kita juga beberapa orang seringkali menyatakan banyaknya suatu benda tertentu dengan tidak menyebutkan satuan benda tersebut. Akan tetapi, mereka menggunakan satuan kumpulan dari jumlah benda tersebut. Misalkan satu karung beras, satu keranjang apel, satu keranjang jeruk, dan lain-lain.

Unsur-unsur Bentuk Aljabar

🔊 play Dimisalkan terdapat suatu bentuk aljabar, yaitu:

ax + c

Keterangan:

ax,  c    =  suku

a           =  koefisien

x           =  variabel

c            =  konstanta

🔊 play a. Suku

Suku ialah variabel (peubah) beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi bentuk aljabar. Suku terbagi menjadi dua, yaitu:

1) Suku Sejenis

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Contoh:
3x dan -2x
y dan 4y
〖3a〗^2 dan a^2

2) Suku Tak Sejenis

Suku-suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat yang dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh:

Berikut nama-nama bentuk aljabar berdasarkan banyaknya suku.
2,x,dan 2x disebut suku satu atau monomial
2x + 4 disebut suku dua atau binomial
2x + 3y + 7 disebut suku tiga atau trinomial
Untuk bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku dinamakan polinomial
Contoh:
2 – 2x + 2
x – 2x + y + 4
2x – 2x + y + z + 5

🔊 play b. Koefisien

Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien yang bernilai 1 pada umunya tidak perlu ditulis.
Contoh:
7x + 5y + z = 0
Pada persamaan di atas, koefisien dari x adalah 7, y adalah 5, dan z adalah 1.

🔊 play c. Variabel (peubah)

Variabel atau peubah adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan suatu nilai yang sifatnya tidak tetap (berubah – ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel pada umumnya disimbolkan dengan huruf latin (a,A,b,B,c,C, dst).
Contoh:
7x + 5y + z = 0
Pada persamaan di atas, terdapat 3 buah variabel yaitu x,y,dan z.

🔊 play d. Konstanta

Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap pada suatu bentuk aljabar. Ciri – ciri paling umum dari sebuah konstanta adalah tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk beberapa rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan dengan suatu huruf (seperti a, b, dsb) atau berupa simbol khusus (seperti π).
Contoh:
Perhatikan dua persamaan di bawah ini:
7x+8=0
K= π ×2r
Konstanta dari persamaan di atas berturut – turut adalah 8 dan π.