TOKOH MATEMATIKA

bicara

4.1 Memahami Konsep Persamaan Linear Satu Variabel

Suatu kalimat dapat dibuat dari susunan kata-kata atau menggunakan symbol tertentu. Penggolongan kalimat dalam matematika dibagi menjadi dua, yaitu kalimat tertutup dan kalimat terbuka.

Amati percakapan dua orang siswa, Toman dan Rizky, yang sedang bermain tebak-tebakan berikut

Toman       : “Riz, coba jawab pertanyaanku. Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?”

Rizky          : “Itu sih pertanyaan mudah, Tom. Presiden pertama Republik

Indonesia adalah Ir. Soekarno.”

Toman       : “Betul.”

Rizky          : “Sekarang giliranku. Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya?”

Toman       : “Pencipta lagu Indonesia Raya adalah Kusbini.”

Rizky          : “Jawabanmu salah, Tom. Coba kalau matematika. Kamu kan jago

matematika. Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian dikurangi tiga menghasilkan tujuh. Bilangan berapakah itu?”

Toman       : “Ehm, sebentar Riz. Bilangan yang kamu maksud adalah 5, bukan? Lima dikali dua kemudian dikurangi tiga sama dengan tujuh. Benar kan? Sekarang giliranku. Suatu bilangan jika dikalikan oleh dua pertiga kemudian

dikurangi oleh dua kalinya dan dikurangi satu sama dengan tujuh. Bilangan berapakah itu?”

Rizky          : “Aduh, susah banget sih. Saya tebak bilangan yang kamu maksud  adalah enam. Enam dikali dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kali enam dan dikurangi satu hasilnya tujuh. Bagaimana, tebakanku benar kan?”

Toman       : “Hampir benar. Jawaban yang benar adalah negatif enam.”

Rizky          : “Halah, kurang negatif saja. He he he.”

Perhatikan kalimat-kalimat dalam percakapan Toman dan Rizky di atas.

Kalimat kalimat tersebut dapat dikelompokkan ke dalam tiga kelompok sebagai

berikut.

Kalimat yang tidak dapat dinilai kebenarannya, yaitu:

  • Siapakah presiden pertama Republik Indonesia?
  • Siapakah pencipta lagu Indonesia Raya?
  • Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian dikurangi tiga menghasilkan tujuh.
  • Suatu bilangan jika dikalikan oleh dua pertiga kemudian dikurangi oleh dua kalinya dan dikurangi satu sama dengan tujuh.
apple

3.1 Mengenal Bentuk Aljabar

Pembagian Apel

Bu Halimah mempunyai sekeranjang apel. Bu Halimah ingin membagikan apel yang ia miliki tersebut kepada setiap orang yang ia temui. Setengah keranjang ditambah satu apel untuk orang pertama. Kemudian setengah dari sisanya ditambah satu, ia berikan kepada orang kedua yang ia temui. Selanjutnya, setengah dari sisanya ditambah satu, diberikan kepada orang ketiga yang ia temui. Sekarang, Bu Halimah hanya memiliki satu apel untuk ia makan sendiri. Tentukan banyak apel semula.

Kita mungkin bisa memecahkan permasalahan tersebut dengan cara mencoba-coba dengan suatu bilangan. Namun berapa bilangan yang harus kita coba, tidak jelas. Cara tersebut terlalu lama, tidak efektif, dan terkesan kebetulan. Lalu, bagaimana cara memecahkan masalah tersebut? Kita bisa memecahkan persoalan tersebut dengan cara membuat bentuk matematisnya. Bentuk tersebut selanjutnya disebut dengan bentuk aljabar, dan operasi yang digunakan memecahkan disebut operasi aljabar.

Bentuk Aljabar

This image has an empty alt attribute; its file name is image-34.png
Sumber :
https://anschutzwellness.com/shopping-with-intention
Suatu ketika terjadi percakapan antara Lani dan Lina. Mereka berdua baru saja membeli buku disuatu toko grosir.

Lani     : “Lina, kelihatannya beli pensil

banyak sekali.”

Lina     : “Iya, Lani. Ini pesanan dari

koperasi sekolah tempat saya bekerja. Saya membeli tiga kardus pensil dan 2 pensil. Lina beli apa saja?”

Lani     : “Saya hanya membeli 5 pensil, Lina. Pensil ini untuk adik saya yang kelas VII SMP.”

Dalam percakapan tersebut terlihat dua orang yang menyatakan banyak pensil dengan satuan yang berbeda. Lina menyatakan jumlah pensil dalam satuan kardus, sedangkan Lani langsung menyebutkan banyak pensil yang ia beli dalam satuan pensil.

Karena banyaknya pensil dalam satu kardus belum diketahui, maka kita dapat memisalkan dengan simbol x yang menyatakan banyak pensil yang ada didalam kardus. Sehingga bentuk aljabarnya menjadi

PembeliLinaLani
Membelikardus pensil dan 2 pensil    5 Pensil
Bentuk Aljabar3x + 25
Simbol x tersubut bisa mewakili sebarang bilangan, yakni sebagai berikut.

Jika x = 10, maka

Jika x = 15, maka

Jika x = 20, maka

Nilai pada bentuk aljabar diatas bergantung pada nilai x.

Di sekitar kita juga beberapa orang seringkali menyatakan banyaknya suatu benda tertentu dengan tidak menyebutkan satuan benda tersebut. Akan tetapi, mereka menggunakan satuan kumpulan dari jumlah benda tersebut. Misalkan satu karung beras, satu keranjang apel, satu keranjang jeruk, dan lain-lain.

Unsur-unsur Bentuk Aljabar

Dimisalkan terdapat suatu bentuk aljabar, yaitu:

ax + c

Keterangan:

ax,  c    =  suku

a           =  koefisien

x           =  variabel

c            =  konstanta

a. Suku

Suku ialah variabel (peubah) beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi bentuk aljabar. Suku terbagi menjadi dua, yaitu:

1) Suku Sejenis

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Contoh:
3x dan -2x
y dan 4y
〖3a〗^2 dan a^2

2) Suku Tak Sejenis

Suku-suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat yang dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh:

Berikut nama-nama bentuk aljabar berdasarkan banyaknya suku.
2,x,dan 2x disebut suku satu atau monomial
2x + 4 disebut suku dua atau binomial
2x + 3y + 7 disebut suku tiga atau trinomial
Untuk bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku dinamakan polinomial
Contoh:
2 – 2x + 2
x – 2x + y + 4
2x – 2x + y + z + 5

b. Koefisien

Koefisien adalah nilai yang digunakan untuk mengalikan suatu variabel. Koefisien yang bernilai 1 pada umunya tidak perlu ditulis.
Contoh:
7x + 5y + z = 0
Pada persamaan di atas, koefisien dari x adalah 7, y adalah 5, dan z adalah 1.

c. Variabel (peubah)

Variabel atau peubah adalah suatu simbol atau huruf yang digunakan untuk menggantikan suatu nilai yang sifatnya tidak tetap (berubah – ubah tergantung persamaan yang memuatnya). Variabel pada umumnya disimbolkan dengan huruf latin (a,A,b,B,c,C, dst).
Contoh:
7x + 5y + z = 0
Pada persamaan di atas, terdapat 3 buah variabel yaitu x,y,dan z.

d. Konstanta

Konstanta adalah suatu nilai yang bersifat tetap pada suatu bentuk aljabar. Ciri – ciri paling umum dari sebuah konstanta adalah tidak berikatan dengan suatu variabel. Untuk beberapa rumus khusus, konstanta dapat disimbolkan dengan suatu huruf (seperti a, b, dsb) atau berupa simbol khusus (seperti π).
Contoh:
Perhatikan dua persamaan di bawah ini:
7x+8=0
K= π ×2r
Konstanta dari persamaan di atas berturut – turut adalah 8 dan π.

perpus

2.3 Operasi Himpunan

Irisan (Intersection)

Sumber :
https://animasi-gambar-kartun-lucu.blogspot.com/2018/07/25-trend-terbaru-gambar-kartun.html
Kunjungan ke Perpustakaan

Suatu kelas dengan 11 siswa melakukan kunjungan ke Perpustakaan sekolah diwaktu jam istirahat berlangsung. Ada dua macam bacaan yang biasanya siswa baca yaitu bacaan fiksi dan non-fiksi. Setiap siswa bisa memilih lebih dari satu buku.

Berikut pilihan siswa-siswa tersebut. Kata “dan” pada cerita ini memiliki makna: “kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “baca buku fiksi dan non-fiksi”, artinya membaca kedua-duanya.
Pada masalah sebelumnya, himpunan siswa-siswa yang membaca buku fiksi (K):
𝐾 ={ AS, JD, TL, RK, BR, CP, ST }
dan yang memilih membaca buku non-fiksi (𝑂): 𝑂 = {JD, TL, DM, BR, MN, ST, WL, HV}
Siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O adalah mereka yang memilih kedua-keduanya yaitu
JD, TL, BR, dan ST.
Himpunan siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O dalam matematika disimbolkan
𝑲⋂𝑶 (dibaca “himpunan 𝐾 irisan 𝑂”)
sehingga 𝐾⋂𝑂 = {JD, TL, BR, ST}
Jadi, kata “dan” dalam kehidupan sehari-hari disimbolkan ⋂ (irisan) dalam matematika.
Operasi irisan dapat dinyatakan dengan diagram Venn.

Pada diagram di atas, siswa JD adalah anggota himpunan 𝐾 ⋂ 𝑂, ditulis JD ∈ 𝐾 ⋂ 𝑂. karena JD ∈ 𝐾 dan JD ∈ 𝑂 (JD anggota dari 𝐾, dan JD anggota dari 𝑂)
Jadi, disimpulkan bahwa

Irisan dari dua himpunan S dan T, dinotasikan S∩T, merupakan himpunan yang memuat anggota yang sama dari himpunan S dan himpunan T. Dengan kata lain, s∈S∩T jika dan hanya jika s∈S dan s∈T.

Gabungan (Union)

Sumber :
http://tunaskeluargamulia2.sdstrada.sch.id/2019/02/02/program-kegiatan-ekstrakurikuler-sd-strada-tunas-keluarga-mulia-ii/
Sama seperti sebelumnya, makna operasi gabungan juga ada dalam kata di kehidupan sehari-hari yaitu “atau”. Kata “atau” memiliki makna: “bisa memilih salah satu atau kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “boleh ambil donat atau roti”, artinya bisa mengambil donat saja, roti saja, atau kedua-duanya.

[responsivevoice voice="Indonesian Male" buttontext="play"]Ekstrakurikuler

Dalam satu kelas terdapat 20 siswa gemar sepak bola, 12 siswa bola voli, 5 siswa gemar keduanya, dan 2 siswa tidak gemar keduanya.

  1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut
  2. Berapa banyak siswa dalam kelas tersebut
Penyelesaian:

Bersadarkan permasalahan diatas, maka penyelesaiannya adalah:

Misalnya

S = {banyak siswa di kelas tersebut}

A ={banyak siswa yang gemar sepak bola}

B ={banyak siswa yang gemar bola voli}

Maka diagram Venn dari keterangan di atas adalah

Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 15 + 5 + 7 + 2 = 29 Jadi, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 29 siswa.

Berdasarkan permasalahan diatas, dapat disimpulkan bahwa

Gabungan dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat seluruh anggota dari himpunan  dan himpunan , dimana jika ada anggota yang sama maka ditulis satu kali. Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .  

Komplemen

Sumber : https://www.alkhoirot.org/2017/12/akhlak-pada-teman-kelas-dan-sekolah.html
Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.

 Pemilihan calon ketua OSIS

Di SMPN 2 Purnama akan ada pemilihan ketua OSIS. Bakal calon ketua OSIS akan dipilih 3 dari 6 kandidat yang memenuhi syarat, diantanya adalah Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, dan Retno. Pak Yanuar dan Pak Muhtarom adalah pembina OSIS dan wakil kepala sekolah bagian kesiswaan. Pak Yanuar mengusulkan Aldo, Dwi, dan Fidela. Pak Muhtarom mengusulkan Lafran, Putri, dan Aldo.

Tentukan:

  1. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar
  2. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom
Penyelesaian:

Berdasarkan permasalahan diatas, diperoleh penyelesaian:

Misalkan:

S adalah himpunan semua kandidat bakal calon ketua OSIS

A adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Yanuar

B adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Muhtarom

Maka himpunan-himpunan itu adalah:

S = {Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, Retno }

A = {Aldo, Dwi, Fidela}

B = {Aldo, Lafran, Putri}

  • Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar adalah P. P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu P ={Lafran, Putri, Retno}
  • b. Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom adalah Q. Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan Q, yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu Q ={Dwi, Fidela Retno}

Berdasarkan hal tersebut himpunan P dan Q disebut komplemen himpunan.

Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan  . Notasi pembentuk himpunan  = {x | x ∈ S tetapi x ∉ A}  

Selisih

Sumber :
https://bbaobeii.blogspot.com/2013/04/gambar-kartun-anak-sedang-belajar-di.html
Makna “selisih” dalam kehidupan sehari-hari adalah “beda”. Contohnya, suatu kelas memiliki dua kelompok yaitu
Kelompok 𝐴 dengan anggota: Andi, Anto, Anyu, Alan, dan Amir
Kelompok 𝐵 dengan anggota: Bayu, Budi, Bambang, dan Bowo
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 (anggota-anggota dari 𝐴 yang tidak ada di 𝐵) adalah pada kelompok A ada Andi, Anto, Anyu, Alan dan Amir, sedangkan pada kelompok 𝐵 tidak ada nama-nama tersebut.
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 dinyatakan dengan
selisih 𝐵 terhadap 𝐴, ditulis 𝐴 − 𝐵.
sehingga 𝐴 − 𝐵 = Andi, Anto, Anyu, Alan, Amir = 𝐴.
Perhatikan permasalahan berikut Pelajaran kesenangan

Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.

Tentukan:

  1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.
  2. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?
  3. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?
  4. Berapa banyak siswa dalam kelas itu?
Penyelesaian:

           Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan

Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.

Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.

Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25

Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.

Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.

Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.

A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = 10.

a. Diagram Venn

[responsivevoice voice="Indonesian Female" buttontext="play"]b. Siswa yang hanya senang pelajaran matematika

Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(A) = n(M) + n(A ∩ B)
30 = n(M) + 10
n(M) = 30 – 10 = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.

c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A ∩ B)
25 = n(F) + 10
n(F) = 25 – 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.


d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar keduaduanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A ∩ B)
= 20 + 15 + 10 = 45
Maka, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

Selisih dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat semua anggota himpunan  tetapi bukan anggota dari himpunan . Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .  
piala

2.2 Sifat-sifat Himpunan

Kardinalitas Himpunan

Himpunan erat kaitannya dengan apa dan berapa banyak anggotanya.  untuk lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut.

Kemenangan Lomba

Untuk merayakan kemenangan Aulia dalam lomba KSN bidang matematika 2021, dia mengajak pembimbing dan ketiga temannya Namira, Hendrisa, dan Maria makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut. Aulia memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat.


Pembimbingnya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Namira memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Hendrisa memesan bakso dan jus terong belanda. Maria memesan mie goreng dan jus sirsak.

  1. Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang
  2. Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan.
  3. Adakah anggota yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan?

Penyelesaian:
Dari soal diatas diperoleh penyelesaian:

Himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang adalah sebagai berikut.

  1. Himpunan makanan kesukaan Aulia adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}.
  2. Himpunan makanan kesukaan pembimbing Aulia adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.
  3. Himpunan makanan kesukaan Namira adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}. Himpunan makanan kesukaan Hendrisa adalah {bakso, jus terong belanda}.
  4. Himpunan makanan kesukaan Maria adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.

Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.

Seluruh makanan yang dipesan adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.

Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.

Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

Dalam himpunan terdapat:

  1. Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set) Contoh A ={1, 2, 3, 4}
  2. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set). Contoh B ={1, 2, 3, 4, …}
  3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

Himpunan Bagian

Untuk menemukan konsep himpunan bagian, amati Masalah 2.5 dan penyelesaian

Sumber :
https://smpmariamediatrix.sch.id/ekstra/

Seluruh siswa kelas VIIG SMP 23 Semarang berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi

Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.

Penyelesaian:

Dari permasalahan diatasi diperoleh penyelesaian:

          Jika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi, maka

  1. Himpunan A adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    A ⊂ S
  2. Himpunan B adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    B ⊂ S
  3. Himpunan C adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    C ⊂ S
  4. Himpunan D adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    D ⊂ S
  5. Himpunan E adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    E ⊂ S
  6. Himpunan F adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
    F ⊂ S
  7. Himpunan C adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    C ⊂ A
  8. Himpunan D adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    D ⊂ A
  9. Himpunan E adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    E ⊂ B
  10. Himpunan F adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    F ⊂ B
  11. Himpunan C bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    C ⊄ B
  12. Himpunan D bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    D ⊄ B
  13. Himpunan E bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    E ⊄ A
  14. Himpunan F bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    F ⊄ A

Dari permasalahan diatas dapat disimpulkan bahwa

Misalkan  dan  adalah himpunan. Jika setiap elemen dari  juga merupakan elemen dari , maka kami katakan  adalah himpunan bagian dari .Himpunan bagian atau subset disimbolkan dengan “ ⊆ ”. Bukan himpunan bagian disimbolkan dengan “ ⊈ “

Himpunan Kuasa

Sumber :
https://www.nusabali.com/berita/84522/tiga-siswa-sma-asal-bali-juara-debat-nasional

Untuk memahami konsep himpunan kuasa, coba amati dan cermati masalah  6 beserta penyelesaiannya

Perwakilan Olimpiade SMP

SMA Al Amin akan mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan untuk mengikuti olimpiade matematika SMA tingkat provinsi. Persyaratan untuk mengikuti olimpiade adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti olimpiade tersebut.

Berapa banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin untuk mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?

Penyelesaian:

Dari permasalahan diatas diperoleh penyelesaian:

          Banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah sebagai berikut.

  • Cara pertama : Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
  • Cara kedua : Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.
  • Cara ketiga : Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.
  • Cara keempat : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersamasama mengikuti olimpiade.

           Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMA Al Amin untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi.

           Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.

          Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka

  • Cara pertama : Himpunan B = { }
  • Cara kedua : Himpunan C = {Ningsih}
  • Cara ketiga : Himpunan D = {Taufan}
  • Cara keempat : Himpunan E = {Ningsih, Taufan}

Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.

  • Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A.
  • Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A.
  • Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A.
  • Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A.
  • Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}.

          Semua himpunan bagian dari suatu himpunan dinamakan dengan himpunan Kuasa, sehingga dapat disimpulkan bahwa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai n anggota ternyata mempunyai hubungan dengan pola bilangan pada segitiga Pascal, yang digambarkan sebagai berikut.