Untuk meracik suatu ramuan obat, seorang apoteker menuang 1/2 liter cairan X setiap satu selama 5 jam. Berapa liter kandungan cairan X dalam rumus ramuan obat tersebut?
Untuk meracik suatu ramuan obat, seorang apoteker menuang 1/2 liter cairan X setiap satu selama 5 jam. Berapa liter kandungan cairan X dalam rumus ramuan obat tersebut? Penyelesaian: Dari permsalahan diatas dapat kita tulis 1/2×5
Dengan bantuan garis bilangan di atas, di dapatkan Bentuk permasalahan tersebut dapat diubah menjadi 1/2×5=5/2 atau 2 1/2 Jadi, banyak kandungan cairan X dalam ramuan obat tersebut adalah 2 1/2 liter. Seorang apoteker ingin mengambil 1/2 dari cairan Y yang ada didalam botol. Jika banyak cairan dalam botol adalah 4/5 bagian. Tentukan banyak cairan yang diambil oleh apoteker tersebut.
Penyelesaian : Bentuk permasalahan tersebut dapat diubah menjadi bagian dari cairan Y dalam botol. Jika dituliskan dalam perkalian 1/2×4/5 Untuk memahami perkalian dua bilangan pecahan agak sulit jika menggunakan garis bilangan. Kita bisa menggunakan pita bilangan untuk mengilustrasikan perkalian dua bilangan pecahan tersebut.
Perhatikan daerah yang dikenai arsiran biru dan arsiran kuning. Daerah yang terkena arsiran biru dan kuning ada 4 bagian dari 10 bagian yang sama atau 4/10 Jadi 4/5×1/2=4/10 ,
Pembagian Bilangan Pecahan
Pembagian bilangan pecahan oleh bilangan bulat Jika a/b adalah bilangan pecahan, dengan c adalah bilangan bulat maka a/b÷c=a/(b×c)
Contoh : Seorang apoteker mempunyai 1/3 gelas cairan kimia. Jika cairan tersebut akan dibagi menjadi 2 gelas secara merata, maka masing-masing gelas terisi nerapa bagian?
Dari ilustrasi di atas terlihat bahwa masing-masing gelas terisi 1/6 bagian. Sehingga 1/3÷2=1/6 bagian.
Pembagian bilangan pecahan oleh bilangan pecahan dengan penyebut sama Misal, Jika a/c dan b/c adalah bilangan pecahan dengan b≠0, maka a/c÷b/c=a/b
Saat masih duduk di sekolah dasar kalian sudah mengenal dengan istilah Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB). Di kelas VII ini kalian akan mempelajari lebih dalam tentang KPK dan FPB beserta aplikasinya dalam menyelesaikan masalah sehari-hari. Diskusikan bersama teman kalian untuk menyelesaikan masalah berikut
Masalah 1:
Zainul, Evan, dan Tohir mempunyai langganan bakso yang sama. Zainul membeli bakso setiap 2 hari sekali, Evan setiap 3 hari sekali, sedangkan Tohir setiap 5 hari sekali. Jika pada hari ini mereka membeli bakso bersama-sama, tentukan setiap berapa hari mereka makan bakso bersama-sama. Jelaskan[/responsivevoice]
Penyelesaian: Setelah memahami konsep kelipatan persekutuan, kita bisa menemukan solusiuntuk permasalahan Zainul, Evan, dan Tohir yang disajikan di awal Sub Bab ini. Pola makan Zainul, Evan, dan Tohir adalah Kelipatan Persekutuan dari 2, 3, dan 5. Jadi Zainul, Evan, dan Tohir akan makan bersama-sama lagi setelah 30 hari, 60 hari, 90 hari, dan seterusnya. 30 hari terhitung sejak hari mereka makan bersama pertama kali.
Masalah 2:
Utusan anggota pramuka dari kelas VII, VIII, dan IX sebuah SMP untuk mengikuti Perkemahan Sabtu Minggu (Persami) sebanyak 108 orang. Utusan dari kelas VII sebanyak 30 orang, kelas VIII sebanyak 36 orang dan dari kelas IX sebanyak 42 orang. Untuk acara
baris-berbaris semua utusan dibagi dalam beberapa kelompok. Tiap kelompok merupakan campuran dari kelas VII, VIII, dan IX, dengan jumlah anggota tiap kelompok adalah sama.
Berapa sebanyak-banyaknya kelompok yang dapat dibentuk?
Berapa banyak anggota tiap kelompok?
Penyelesaian: Dengan memahami konsep faktor persekutuan, perhatikan uraian berikut ini.
Banyak kelompok yang bisa dibuat adalah faktor persekutuan dari 30, 36, dan 42 yaitu 1, 2, 3, atau 6 kelompok. Jika 1 kelompok artinya anak-anak tersebut tidak dibagi dalam kelompok, maka kelompok yang mungkin dibuat adalah 2, 3, atau 6.
Banyak anggota tiap kelompok
Jika banyak kelompok = 2, maka banyak anggota tiap kelompok = anak.
Jika banyak kelompok = 3, maka banyak anggota tiap kelompok anak.
Jika banyak kelompok = 6, maka banyak anggota tiap kelompok anak.
Beberapa dari kalian mungkin sudah bisa memahami alternatif penyelesaian tersebut, beberapa juga masih belum bisa. Untuk memahami lebih lanjut tentang KPK dan FPB mari ikuti kegiatan berikut
Untuk memahami masalah tersebut, coba kalian pahami tentang perkalian persekutuan dan faktor persekutuan.
Kelipatan Persekutuan
Daftarlah sepuluh kelipatan bilangan berikut secara urut dari yang terkecil hingga terbesar. Kelipatan yang dimaksud adalah kelipatan bilangan bulat positif. Perhatikan Tabel Berikut:
Dari Tabel diatas daftar bilangan-bilangan yang sama antara kelipatan 1 dan 2 adalah 2, 4, 6, 8, dan 10 Bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10 disebut sebagai kelipatan persekutuan dari 1 dan 2. Sedangkan 2 disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 1 dan 2.
Sekolah Dasar kalian sudah mengenal bilangan berpangkat bulat positif (asli). Misal dibaca “dua pangkat tiga”, “dibaca sepuluh pangkat dua” dan lain sebagainya. Salah satu alasan penggunaan bilangan berpangkat adalah untuk menyederhanakan bilangan desimal yang memuat angka (relatif) banyak. Misal bilangan 1.000.000 dapat dinotasikan menjadi bilangan berpangkat . Bilangan desimal 1.000.000 memuat tujuh angka dapat diubah menjadi bilangan berpangkat yang hanya memuat tiga angka. Mengubah bilangan desimal yang memuat angka yang banyak menjadi bilangan berpangkat bisa dilakukan asalkan nilainya tetap. Dalam kegiatan ini, kalian akan diajak untuk mengenal bilangan berpangkat lebih banyak, memahami cara mengubah notasi bilangan desimal yang memuat banyak angka menjadi bilangan berpangkat, serta membandingkan bilangan-bilangan berpangkat.
Menyatakan Bilangan Desimal menjadi Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Secara umum, bilangan berpangkat dapat dinyatakan dalam bentuk dengan a dan b adalah bilangan bulat. a disebut bilangan basis atau pokok, sedangkan b disebut eksponen atau pangkat. Namun dalam materi ini yang akan kita bahas cukup bilangan berpangkat bulat positif (asli).
Untuk menyatakan bilangan berpangkat bulat menjadi bilangan desimal, kalian cukup mengubahnya dalam bentuk perkalian, kemudian menentukan hasil kalinya. Namun, bagaimana cara menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat.
Untuk menyatakan bilangan desimal menjadi bilangan berpangkat, salah satu caranya adalah dengan menentukan faktor-faktornya terlebih dahulu.
Namira membeli 1/4 kg buah jeruk. Tetapi mengingat teman-temannya akan datang ke rumah, Ia membeli lagi 3/4kg buah jeruk. Berapa kg berat jeruk keseluruhan?
Penyelesaian :
Pada contoh tersebut bisa kita buat bentuk matematikanya sebagai berikut.
Jadi, berat buah jeruk yang dibeli oleh Nina adalah 1kg
Contoh 2 :
Karena sedang mendapatkan nilai bagus di sekolah, Rika membawa sebuah kue dan ingin berbagi kue yang ia miliki kepada Agus dan koko. Agus diberi 1/4 bagian, sedangkan koko mendapatkan 2/5 bagian. Berapa bagian yang masih dimiliki oleh As’ad setelah diberikan kepada kedua temannya tersebut?
Penyelesaian:
Sisa kue yang masih dimiliki Rika sama dengan 1 kue utuh dikurangi 1/4 , untuk Agus dan 2/5 untuk koko. Kita bisa membuat bentuk matematikanya sebagai berikut.
Jadi, sisa ue yang masih dimiliki Rika adalah7/20 bagian.
Pada contoh pertama diatas penjumlahan dua bilangan pecahan tersebut sederhana, yaitu dengan cara menjumlahkan kedua pembilangnya, karena kedua penyebut bilangan tersebut sama-sama 4
Pada contoh kedua ada proses mengubah penyebut menjadi sama sebelum melakukan operasi penjumlahan maupun pengurangan. Karena penyebut berubah, maka pembilang pun ikut berubah agar menjadi pecahan yang ekuivalen
Dalam suatu acara ulang tahun, undangan yang datang dibagi menjadi 4 kelompok untuk menikmati kue tar berbentuk lingkaran dengan ukuran yang sama. Kue tar tersebut sudah dihidangkan pada setiap meja kelompok, yaitu meja A, meja B, meja C, dan meja D. Kue tersebut dibagi sama rata kepada anak yang menghadapi suatu meja. Setiap undangan yang datang boleh memilih duduk di bangku meja mana pun Adit adalah undangan terakhir yang datang di acara tersebut. Adit melihat bangku meja A sudah ada 6 anak, meja B ada 7 anak, meja C ada 8 anak, dan meja D ada 9 anak.
Adit adalah undangan terakhir yang datang di acara tersebut. Adit melihat bangku meja A sudah ada 6 anak, meja B ada 7 anak, meja C ada 8 anak, dan meja D ada 9 anak. a. Apabila Adit memilih bergabung di bangku meja B, apakah banyak bagian kue yang akan didapatkan oleh Adit akan sama dengan anak yang memilih meja yang mana? Jelaskan. b. Jika Adit ingin mendapatkan bagian kue yang paling banyak di antara keempat meja pilihan, meja manakah yang seharusnya Adit pilih? Jelaskan. Untuk menyelesaikan masalah diatas kita dapat menulis banyak anak pada masing-masing meja sebagai berikut:
Meja
Banyak anak
A
6
B
7
C
8
D
9
Ketika Adit memilih bergabung dengan meja B, maka banyak anak menjadi 8, yaitu sama dengan anak pada meja C. Oleh karena itu setiap anak pada meja B dan C, sama-sama memperoleh 1/8 bagian kue. Agar mendapatkan kue yang paling banyak (di antara empat kemungkinan meja yang ada) Adit harus memilih banyak anak yang paling sedikit, yaitu meja A. Dengan memilih meja A,maka Adit mendapatkan bagian kue. Bagian ini paling besar dibanding dengan jika Adit memilih meja lain.
Contoh 1
Dalam suatu acara syukuran kenaikan kelas, Dita mengundang temantemannya ke rumahnya. Dita mempersiapkan dua kelompok yang sudah diatur pada dua meja. Meja X diberikan 2 kue, sedangkan meja Y diberikan 3 kue. Kue tersebut dibagi sama rata kepada anak yang menghadapi suatu meja. Undangan yang datang boleh memilih duduk di bangku meja mana pun. Antin adalah peserta undangan terakhir yang datang di acara tersebut, Antin melihat bangku meja X sudah ada 6 anak, dan meja B ada 8 anak. Jika Antin ingin mendapatkan bagian kue yang lebih banyak di antara kedua pilihan, maka seharusnya Antin memilih meja apa? Jelaskan. Beberapa teman kalian mungkin sudah bisa memecahkan masalah tersebut, meskipun beberapa juga masih belum bisa.
Untuk memecahkan masalah tersebut kalian akan belajar tekait bilangan pecahan. Mungkin dari kalian ada yang sudah paham dan ada yang belum. Silahkan pelajari materi dibawah dengan sungguh-singgih
a. Potongan kue
b. Mengambil 2 sepatu dari 5 sepatu
c. Mengambil 1 lembar uang dari 6 lembar uang
Dari gambar diatas dapat kita ketahui dalam kehidupan sehari-hari ternyata menggunakan bilangan pecahan. Kemudian, bagaimana cara kita menulis bentuk pecahan dari contoh diatas?
Gambar a terdapat sebuah kue yang berbentuk lingkaran utuh. Jika kita ingin membagikan kepada 4 orang atau kita ingin membagi kue tersebut menjadi 4 bagian maka kita tulis potongan kue.
Gambar b terdapat 5 sepasang sepatu. Kemudian, diambil 2 sepatu maka dapat kita tuliskan dalam bentuk pecahan sepasang sepatu.
Gambar c terdapat 6 lembar mata uang. Kita bisa menuliskan bentuk pecahan 1 bagian mata uang adalah bagian mata uang.
Bilangan pecahan pada pernyataan di atas adalah untuk menyatakan bagian dari keseluruhan. Jika a dan b adalah bilangan bulat, dengan b ≠ 0, maka bilangan pecahan merepresentasikan a bagian dari b bagian ekuivalen. Bagian ekuivalen yang dimaksud adalah bagian yang sama sesuai dengan objek keseluruhannya, misal panjang, tinggi, luas, berat, volume, dan lainlain. Pada bilangan pecahan a disebut pembilang, sedangkan b disebut penyebut.
Untuk memperluas pemahaman kalian tentang pecahan, silakan amati dan lengkapi Tabel berikut. Nyatakan bagian yang berwarna biru sebagai pecahan.
Bilangan pecahan 2/4,3/6 dapat dinyatakan dalam pecahan lain yang relatif senilai, yaitu 1/2. Pecahan-pecahan yang relative senilai disebut pecahan ekuivalen. Perhatikan ilustrasi berikut. Bagian yang berwarna kuning jika dinyatakan dalam bentuk pecahan adalah sebagai berikut.
Membandingkan Dua Bilangan Pecahan
Untuk membandingkan dua bilangan pecahan, kita dapat menggunakan cara menyamakan penyebut kedua bilangan pecahan tersebut. Tentukan bilangan yang lebih besar antara 3/4 dengan 2/3 Penyelesaian :
Penyebut kedua bilangan, masing-masing adalah 4 dan 3. Kedua bilangan tersebut mempunyai KPK yaitu 12, sehingga pecahan 3/4 dan 2/3 secara berturut-turut senilai dengan 9/12 dan 8/12. Setelah kedua penyebut sama, dengan mudah kita dapat menentukan bahwa 9/12 lebih dari 8/12. Dengan kata lain3/4 lebih besar dari 2/3
Contoh :
Bilangan manakah yang lebih besar antara antara 2013/2014 dengan 2015/2016 Penyelewaian : Untuk menentukan manakah yang lebih besar, kita dapat menggunakan cara yang sama dengan Contoh 1.7. Namun, cara tersebut agak kurang efektif karena penyebut kedua bilangan yang cukup besar. 1/2<3/4 karena 1/2=2/4<3/4 2/3<4/5 karena 2/3=10/15<12/15=4/5 3/4<5/6 karena 3/4=9/12<10/12=5/6 Dengan mengamati pola bilangan tersebut, kita mengarah pada kesimpulan bahwa 2015/2016 lebih besar dari 2013/2014.
Putri pergi ke dokter untuk memeriksa kondisinya yang kurang enak badan. Setelah berobat dokter memberikan obat dan menyarankan minum dengan ketentukan 3×1. Putri bingung maksud dari dokter tersebut. Maka Putri meminum 3 butir obat pagi, siang, dan sore hari Akan tetapi, namira merasa mual dan sakit perut. Kemudian, namira Kembali lagi ke dokter dan menanyakan kenapa dia bisa sakit perut dan mual
Putri : “Dokter, kenapa saya setelah minum obat perut saya terasa mual dan sakit perut?.” Dokter : “Mbak Putri minum obat sudah sesuai dengan yang saya sarankan?.” Putri : “Sudah dok, saya minum 3 butir setiap pagi, siang, dan sore.” Dokter : “(Dokter tertawa), maksud saya diminum 3 kali sehari. Jadi pagi 1 butir, siang 1 butir, dan malam 1 butir begitu mbak.”
Dari peristiwa di atas dapat kita simpulkan. Jika, Putri belajar matematika dengan rajin dan teliti maka kejadian tersebut tidak akan terjadi
Operasi Pembagian
Hendri membeli 8 pensil. Pensil-pensil tersebut akan dibagi kepada 4 temannya yaitu Maria, Putri, Aulia, dan Namira. Setiap orang mendapatkan jumlah pensil yang sama banyaknya. Berapakah banyak ikan yang diterima masing-masing teman Hendri?
Dari peristiwa di atas dapat kita simpulkan. Jika, Putri belajar matematika dengan rajin dan teliti maka kejadian tersebut tidak akan terjadi
8 ikan dibagi ke 4 temannya, setiap temannya memperoleh ikan yang sama banyaknya yaitu 2. Maka dapat kita tulis
Apakah kalian pernah menemukan gedung dengan banyak jendela? Pernah kah kalian memperhatikan banyak jendela tiap lantainya? Misalkan lantai satu sebuah gedung memiliki 4 jendela. Kemudian, di lantai dua terdapat 3 jendela dan dilantai tiga terdapat 4 jendela. Lalu, bagaimana cara menentukan banyak jendela dari lantai 1, 2, dan 3 ? Gambar 1.3 Gedung dengan banyak jendela
Untuk menyelesaikan masalah tersebut dapat kita tulis dalam bentuk
4+3+4=11 (gambar orang berdiri di lantai lima kemudian turu 3) Namira akan menginap disebuah hotel. Hotel tersebut memiliki 5 lantai, Namira ingin menempati lantai paling atas. Setelah di lantai 5 Namira berubah pikiran. Kemudian, Namira turun 3 lantai. Di lantai berapakah Namira sekarang? Untuk menyelesaikan masalah tersebut dapat kita tulis dalam bentuk 5-3=2 Jadi, Namira berada di lantai 2
Operasi Penjumlahan
Ada 3 kelompok bilangan bulat (bilangan positif, 0, dan negatif). Jika 0 tidak termasuk, maka ada 4 kemungkinan penjumlahan bilangan bulat. Kemungkinan tersebut adalah
bilangan positif + bilangan positif
Penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif tentu kalian pernah mempelajarinya sebelumnya.
Contoh :
2+2=4
4+3=7
3+3=6
6+2=8
bilangan positif + bilangan negatif
Bagaimanakah cara menyelesaikan penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif?
Contoh:
9+(-3)=⋯
3+(-2)=⋯
4+(-4)=⋯
5+(-3)=⋯
Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan hampir sama dengan operasi penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif. Contoh operasi pengurangan: 5-2=3 4-2=2 …dst Hasil pengurangan tersebut juga dapat dicari menggunakan permainan bolpoin biru dan bolpoin hitam. Kita dengan mudah menentukan hasil pengurangan di atas jika telah menguasai penjumlahan. Sama seperti penjumlahan, ada 4 kemungkinan pengurangan bilangan bulat (tidak termasuk bilangan 0).
Bilangan positif − Bilangan positif
Menentukan 5-2=
Ada 5 bolpoin biru, diambil 2 bolpoin biru. Sisanya 3 bolpoin biru yang melambangkan 3. Jadi, 5-2=3
Pernahkah kamu pergi ke sebuah gedung mall, gedung perusahaan, atau gedung yang lainnya. Jika tinggi gedung dinyatakan dengan tinggi diatas permukaan tanah dan. Misalkan orang yang berada di dalam gedung lantai 3 dengan tingginya adalah 10 meter. Jika orang itu berada di tanah maka tingginya adalah 0 meter. Lalu, bagaimana cara kita menuliskan tinggi orang ada di ruang bawah tanah lantai 3 gedung tersebut? Kita tidak bisa menuliskan tinggi posisi orang tersebut 10 meter di bawah tanah.
Berdasarkan Cerita terebut kita membutuhkan bilangan yang menyatakan tinggi di bawah tanah selain “1, 2, 3, 4, 5, … . Bila tinggi di atas tanah atau di ruangan lantai 3 gedung adalah 10 meter. Maka tinggi orang yang berada di ruang bawah tanah lantai 3 adalah lawan dari 10 meter. Mengapa demikian?Karena orang tersebut berada di ruang bawah tanah dengan tinggi sama yaitu 10 meter. Akan tetapi yang sati di atas tanah dan yang satu di bawah tanah. Lawan dari 10 di nyatakan sebagai negatif 10, ditulis -10. Jadi, kesimpulannya orang yang berada di bawah tanah dapat dinyatakan dengan bilangan -1, -2, -3, -4, -5, -6,-7 ,-8, -9, -10,… . Bilangan – bilangan tersebut dinamakan bilangan bulat negatif
Bilangan -10 dan 10 menyatakan jarak yang sama, Bedanya 10 menyatakan tinggi gedung di atas tanah dan -10 tinggi gedung bawah tanah. Jika orang yang berada di dalam gedung bergerak 10 meter ke bawah dan orang yang berada diruang bawah tanah gedung tersebut bergerak 10 meter ke atas maka mereka akan bertemu di tanah 0 meter. Dapat kita tulis masalah atau kejadian tersebut dengan -10+10=0
