Posts in category: himpunan

🔊 play

Irisan (Intersection)

🔊 play Kunjungan ke Perpustakaan

Suatu kelas dengan 11 siswa melakukan kunjungan ke Perpustakaan sekolah diwaktu jam istirahat berlangsung. Ada dua macam bacaan yang biasanya siswa baca yaitu bacaan fiksi dan non-fiksi. Setiap siswa bisa memilih lebih dari satu buku.

Berikut pilihan siswa-siswa tersebut. 🔊 play Kata “dan” pada cerita ini memiliki makna: “kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “baca buku fiksi dan non-fiksi”, artinya membaca kedua-duanya.
Pada masalah sebelumnya, himpunan siswa-siswa yang membaca buku fiksi (K):
𝐾 ={ AS, JD, TL, RK, BR, CP, ST }
dan yang memilih membaca buku non-fiksi (𝑂): 𝑂 = {JD, TL, DM, BR, MN, ST, WL, HV}
Siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O adalah mereka yang memilih kedua-keduanya yaitu
JD, TL, BR, dan ST.
Himpunan siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O dalam matematika disimbolkan
𝑲⋂𝑶 (dibaca “himpunan 𝐾 irisan 𝑂”)
sehingga 𝐾⋂𝑂 = {JD, TL, BR, ST}
Jadi, kata “dan” dalam kehidupan sehari-hari disimbolkan ⋂ (irisan) dalam matematika.
Operasi irisan dapat dinyatakan dengan diagram Venn.

🔊 play Pada diagram di atas, siswa JD adalah anggota himpunan 𝐾 ⋂ 𝑂, ditulis JD ∈ 𝐾 ⋂ 𝑂. karena JD ∈ 𝐾 dan JD ∈ 𝑂 (JD anggota dari 𝐾, dan JD anggota dari 𝑂)
Jadi, disimpulkan bahwa 🔊 play

Irisan dari dua himpunan S dan T, dinotasikan S∩T, merupakan himpunan yang memuat anggota yang sama dari himpunan S dan himpunan T. Dengan kata lain, s∈S∩T jika dan hanya jika s∈S dan s∈T.

Gabungan (Union)

🔊 play Sama seperti sebelumnya, makna operasi gabungan juga ada dalam kata di kehidupan sehari-hari yaitu “atau”. Kata “atau” memiliki makna: “bisa memilih salah satu atau kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “boleh ambil donat atau roti”, artinya bisa mengambil donat saja, roti saja, atau kedua-duanya.

[responsivevoice voice="Indonesian Male" buttontext="play"]Ekstrakurikuler

Dalam satu kelas terdapat 20 siswa gemar sepak bola, 12 siswa bola voli, 5 siswa gemar keduanya, dan 2 siswa tidak gemar keduanya.

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut
2. Berapa banyak siswa dalam kelas tersebut

🔊 play Penyelesaian:

Bersadarkan permasalahan diatas, maka penyelesaiannya adalah:

Misalnya

S = {banyak siswa di kelas tersebut}

A ={banyak siswa yang gemar sepak bola}

B ={banyak siswa yang gemar bola voli}

Maka diagram Venn dari keterangan di atas adalah

Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 15 + 5 + 7 + 2 = 29 Jadi, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 29 siswa.

Berdasarkan permasalahan diatas, dapat disimpulkan bahwa

🔊 play Gabungan dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat seluruh anggota dari himpunan  dan himpunan , dimana jika ada anggota yang sama maka ditulis satu kali. Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .

Komplemen

🔊 play Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.

 Pemilihan calon ketua OSIS

🔊 play Di SMPN 2 Purnama akan ada pemilihan ketua OSIS. Bakal calon ketua OSIS akan dipilih 3 dari 6 kandidat yang memenuhi syarat, diantanya adalah Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, dan Retno. Pak Yanuar dan Pak Muhtarom adalah pembina OSIS dan wakil kepala sekolah bagian kesiswaan. Pak Yanuar mengusulkan Aldo, Dwi, dan Fidela. Pak Muhtarom mengusulkan Lafran, Putri, dan Aldo.

Tentukan:

1. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar
2. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom

🔊 play Penyelesaian:

Berdasarkan permasalahan diatas, diperoleh penyelesaian:

Misalkan:

S adalah himpunan semua kandidat bakal calon ketua OSIS

A adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Yanuar

B adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Muhtarom

🔊 play Maka himpunan-himpunan itu adalah:

S = {Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, Retno }

A = {Aldo, Dwi, Fidela}

B = {Aldo, Lafran, Putri}

• Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar adalah P. P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu P ={Lafran, Putri, Retno}
• b. Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom adalah Q. Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan Q, yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu Q ={Dwi, Fidela Retno}

Berdasarkan hal tersebut himpunan P dan Q disebut komplemen himpunan.

🔊 play Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan  . Notasi pembentuk himpunan  = {x | x ∈ S tetapi x ∉ A}

Selisih

🔊 play Makna “selisih” dalam kehidupan sehari-hari adalah “beda”. Contohnya, suatu kelas memiliki dua kelompok yaitu
Kelompok 𝐴 dengan anggota: Andi, Anto, Anyu, Alan, dan Amir
Kelompok 𝐵 dengan anggota: Bayu, Budi, Bambang, dan Bowo
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 (anggota-anggota dari 𝐴 yang tidak ada di 𝐵) adalah pada kelompok A ada Andi, Anto, Anyu, Alan dan Amir, sedangkan pada kelompok 𝐵 tidak ada nama-nama tersebut.
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 dinyatakan dengan
selisih 𝐵 terhadap 𝐴, ditulis 𝐴 − 𝐵.
sehingga 𝐴 − 𝐵 = Andi, Anto, Anyu, Alan, Amir = 𝐴.
Perhatikan permasalahan berikut 🔊 play Pelajaran kesenangan

Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.

Tentukan:

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.
2. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?
3. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?
4. Berapa banyak siswa dalam kelas itu?

🔊 play Penyelesaian:

           Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan

Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.

Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.

Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25

Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.

Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.

Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.

A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = 10.

🔊 play a. Diagram Venn

[responsivevoice voice="Indonesian Female" buttontext="play"]b. Siswa yang hanya senang pelajaran matematika

Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(A) = n(M) + n(A ∩ B)
30 = n(M) + 10
n(M) = 30 – 10 = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.

🔊 play c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A ∩ B)
25 = n(F) + 10
n(F) = 25 – 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.

🔊 play d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar keduaduanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A ∩ B)
= 20 + 15 + 10 = 45
Maka, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

🔊 play Selisih dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat semua anggota himpunan  tetapi bukan anggota dari himpunan . Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .

🔊 play

Kardinalitas Himpunan

🔊 play

Himpunan erat kaitannya dengan apa dan berapa banyak anggotanya.  untuk lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut.

Kemenangan Lomba

Untuk merayakan kemenangan Aulia dalam lomba KSN bidang matematika 2021, dia mengajak pembimbing dan ketiga temannya Namira, Hendrisa, dan Maria makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut. Aulia memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat.

🔊 play Pembimbingnya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Namira memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Hendrisa memesan bakso dan jus terong belanda. Maria memesan mie goreng dan jus sirsak.

1. Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang
2. Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan.
3. Adakah anggota yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan?

Penyelesaian:
Dari soal diatas diperoleh penyelesaian:

Himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang adalah sebagai berikut.

1. Himpunan makanan kesukaan Aulia adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}.
2. Himpunan makanan kesukaan pembimbing Aulia adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.
3. Himpunan makanan kesukaan Namira adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}. Himpunan makanan kesukaan Hendrisa adalah {bakso, jus terong belanda}.
4. Himpunan makanan kesukaan Maria adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.

Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.

🔊 play Seluruh makanan yang dipesan adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.

Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.

Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa

🔊 play

Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

Dalam himpunan terdapat:

1. Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set) Contoh A ={1, 2, 3, 4}
2. Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set). Contoh B ={1, 2, 3, 4, …}
3. Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).

Himpunan Bagian

🔊 play

Untuk menemukan konsep himpunan bagian, amati Masalah 2.5 dan penyelesaian

🔊 play

Seluruh siswa kelas VIIG SMP 23 Semarang berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi

Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.

🔊 play

Penyelesaian:

Dari permasalahan diatasi diperoleh penyelesaian:

          Jika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi, maka

1. Himpunan A adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   A ⊂ S
2. Himpunan B adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   B ⊂ S
3. Himpunan C adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   C ⊂ S
4. Himpunan D adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   D ⊂ S
5. Himpunan E adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   E ⊂ S
6. Himpunan F adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
   F ⊂ S
7. Himpunan C adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
   C ⊂ A
8. Himpunan D adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
   D ⊂ A
9. Himpunan E adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
   E ⊂ B
10. Himpunan F adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    F ⊂ B
11. Himpunan C bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    C ⊄ B
12. Himpunan D bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
    D ⊄ B
13. Himpunan E bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    E ⊄ A
14. Himpunan F bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
    F ⊄ A

Dari permasalahan diatas dapat disimpulkan bahwa

Misalkan  dan  adalah himpunan. Jika setiap elemen dari  juga merupakan elemen dari , maka kami katakan  adalah himpunan bagian dari .Himpunan bagian atau subset disimbolkan dengan “ ⊆ ”. Bukan himpunan bagian disimbolkan dengan “ ⊈ “

Himpunan Kuasa

🔊 play

Untuk memahami konsep himpunan kuasa, coba amati dan cermati masalah  6 beserta penyelesaiannya

Perwakilan Olimpiade SMP

SMA Al Amin akan mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan untuk mengikuti olimpiade matematika SMA tingkat provinsi. Persyaratan untuk mengikuti olimpiade adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti olimpiade tersebut.

Berapa banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin untuk mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?

🔊 play

Penyelesaian:

Dari permasalahan diatas diperoleh penyelesaian:

          Banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah sebagai berikut.

• Cara pertama : Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
• Cara kedua : Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.
• Cara ketiga : Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.
• Cara keempat : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersamasama mengikuti olimpiade.

           Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMA Al Amin untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi.

           Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.

          Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka

• Cara pertama : Himpunan B = { }
• Cara kedua : Himpunan C = {Ningsih}
• Cara ketiga : Himpunan D = {Taufan}
• Cara keempat : Himpunan E = {Ningsih, Taufan}

Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.

• Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A.
• Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A.
• Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}.

          Semua himpunan bagian dari suatu himpunan dinamakan dengan himpunan Kuasa, sehingga dapat disimpulkan bahwa

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai n anggota ternyata mempunyai hubungan dengan pola bilangan pada segitiga Pascal, yang digambarkan sebagai berikut.

🔊 play Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal kata “kumpulan”, contohnya:

a. Kumpulan siswa perempuan
b. Kumpulan siswa laki-laki
c. Kumpulan semua siswa di suatu kelas yang mengikuti pramuka
d. Kumpulan semua siswa yang lahir pada bulan Juli
e. Kumpulan semua siswa yang mengikuti KSN bidang Matematika tahun 2021

Istilah dalam matematika yang maknanya sama dengan “kumpulan” adalah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Contohnya:

1. Kumpulan siswa yang pandai
2. Kumpulan siswa yang berbadan tinggi
3. Kumpulan pelajaran yang disenangi siswa

Perhatikan permasalahan berikut:

🔊 play

Dari 28 siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler di sekolah, 15 anak mengikuti pramuka, 12 anak mengikuti futsal dan 7 anak mengikuti keduanya, banyak siswa yang tidak mengikuti pramuka maupun futsaladalah

Masalah 1 dapat diselesaikan setelah kita belajar materi dalam bab ini. Selain itu, kita dapat memiliki kemampuan untuk:

1. membedakan himpunan dan bukan himpunan
2. memberikan contoh himpunan dan menyajikan himpunan,
3. memberikan contoh himpunan semesta,
4. menentukan kardinalitas dari suatu himpunan,
5. menentukan himpunan yang merupakan himpunan bagian, atau sama dengan himpunan lainnya.
6. menentukan himpunan kuasa dari suatu himpunan,
7. menentukan hasil operasi biner pada himpunan (irisan, gabungan, dan selisih), dan operasi uner (komplemen),
8. menemukan sifat-sifat operasi tersebut,
9. menyelesaikan masalah-masalah berkaitan dengan himpunan.

Penyajian Himpunan

🔊 play

          Kata “kumpulan” atau “himpunan” berpadanan dengan kata “group”, “collection”, atau “set” dalam bahasa Inggris. Kata tersebut bisa berbeda di bahasa lainnya. Bayangkan dalam suatu ruangan, ada tiga orang dengan bahasa yang berbeda-beda berbicara, tetapi tidak saling mengerti, pasti kacau bukan? Begitu pula, akan sulit bagi kita jika bahasa yang digunakan berbeda-beda untuk suatu istilah matematika yang sama.

          Para ahli matematika mempunyai solusi untuk itu yaitu membuat suatu notasi atau istilah tertentu yang jika dibaca oleh semua orang memiliki makna yang sama yaitu himpunan. Itulah sebabnya matematika dikatakan sebagai bahasa universal dari makna dalam kehidupan sehari-hari. Himpunan disimbolkan dengan huruf besar miring, contohnya 𝐴, 𝐵, atau C.

          Ada 4 cara menyatakan himpunan dalam matematika yaitu:

1. Mendaftarkan atau menyebutkan anggotanya (enumerasi)
2. Kalimat yang menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
3. Notasi pembentuk himpunan

Diagram venn (yang akan dipelajari dalam sub bab selanjutnya)

Himpunan Semesta dan Himpunan Kosong

🔊 play

Guru akan memilih empat orang siswa untuk diseleksi sebagai perwakilan lomba KSN Bidang Matematika 2021. Empat orang siswa tersebut adalah Namira, Hendrisa, Maria, dan Auliayang  memiliki kesempatan sama untuk menjadi perwakilan lomba KSN Bidang Matematika 2021. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka pembimbing KSN bidang matematika memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian.

Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah sebagai berikut

1. Menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;
2. Menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1;
3. Menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;
4. Menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

Pemenangnya adalah siswa yang dapat menemukan paling sedikit satu anggota himpunannya. 🔊 play

Setelah pengundian, Namira mendapatkan pertanyaan nomor 2, Hendrisa mendapat pertanyaan nomor 3, Maria mendapat pertanyaan nomor 1, dan Aulia mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinan menjadi pemenang?

Penyelesaian:
Perhatikan keempat pertanyaan pada masalah 2.2. Penyelesaian keempat pertanyaan itu adalah sebagai berikut.

1. Bilangan cacah yang kurang dari 0.
   Ingat kembali bilangan cacah yang telah kalian pelajari waktu SD? Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Maria adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
2. Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1.
   Tidak ada satupun bilangan bulat antara 0 dan 1, sehingga himpunan yang diperoleh Namira adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
3. Bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
   Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Sehingga himpunan yang diperoleh Hendrisa adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
4. Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.
   Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2. Dengan demikian, himpunan yang diperoleh Aulia adalah himpunan yang banyak anggotanya tepat satu, yaitu {2}.

🔊 play

Berdasarkan keterangan tersebut, yang dapat menentukan anggota himpunan tepat satu adalah Aulia. Dengan demikian Aulia terpilih menjadi perwakilan lomba KSN bidang Matematika 2021. Sementara Namira, Hendrisa, dan Maria tidak menemukan anggota himpunan atau disebut dengan himpunan kosong.
Salah satu karakteristik matematika adalah memperhatikan semesta pembicaraannya. Penyelesaian suatu masalah dalam matematika dimungkinkan akan berbeda jika semesta pembicaraannya berbeda. Demikian juga anggota himpunan tertentu ditentukan oleh semestanya. Maka dapat disimpukan bahwa:

• Himpunan dari semua unsur atau objek yang dibicarakan disebut Himpunan semesta yang disimbolkan dengan 𝑆. Himpunan semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan U.
• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong disimbolkan  atau ∅.

Diagram Venn

🔊 play

Cara menyajikan himpunan yang keempat juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:

1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas.
2. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.
3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.
4. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan.

Perhatikan permasalahan berikut:

🔊 play Pemberian Tugas

Guru menugaskan dua orang siswa sebagai pengganti tugas remidial, untuk menuliskan himpunan bilangan positif yang kurang dari 10. Kayla hanya diminta untuk menuliskan himpunan bilangan prima, dan Mia diminta menuliskan himpunan bilangan yang genap positif. Bantulah kedua siswa itu mengerjakan tugasnya. Lalu, gambarkan dalam diagram venn.

Penyelesaian:

Misal:

S = menyatakan himpunan semesta, menuliskan himpunan bilangan yang kurang dari 10

K = menyatakan himpunan yang Ikhsan tulis

M = menyatakan himpunan yang Mia tulis

Maka,

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

K = {2, 3, 5, 7}

M = {2, 4, 6, 8}