Kardinalitas Himpunan
Himpunan erat kaitannya dengan apa dan berapa banyak anggotanya. untuk lebih jelasnya perhatikan permasalahan berikut.
Kemenangan Lomba
Untuk merayakan kemenangan Aulia dalam lomba KSN bidang matematika 2021, dia mengajak pembimbing dan ketiga temannya Namira, Hendrisa, dan Maria makan di restoran. Setelah tiba di restoran mereka memesan makanan kesukaan masing-masing yang ada daftar menu restoran tersebut. Aulia memesan ikan bakar, udang goreng, dan jus alpukat.
Pembimbingnya memesan ikan asam manis, bakso, dan jus terong belanda. Namira memesan ikan bakar, bakso, dan jus alpukat. Hendrisa memesan bakso dan jus terong belanda. Maria memesan mie goreng dan jus sirsak.
- Sebutkan anggota-anggota himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang
- Tuliskan seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan.
- Adakah anggota yang memesan makanan yang sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa banyak makanan berbeda yang dipesan?
Penyelesaian:
Dari soal diatas diperoleh penyelesaian:
Himpunan makanan kesukaan yang dipesan masing-masing orang adalah sebagai berikut.
- Himpunan makanan kesukaan Aulia adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat}.
- Himpunan makanan kesukaan pembimbing Aulia adalah {ikan asam manis, bakso, jus terong belanda}.
- Himpunan makanan kesukaan Namira adalah {ikan bakar, bakso, jus alpukat}. Himpunan makanan kesukaan Hendrisa adalah {bakso, jus terong belanda}.
- Himpunan makanan kesukaan Maria adalah {mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah tiga.
Jika kalian perhatikan semua himpunan tersebut, banyak anggota himpunannya adalah 3.
Seluruh makanan yang dipesan adalah ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yang dipesan adalah {ikan bakar, udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak}. Banyak anggota himpunannya adalah 8.
Berdasarkan keterangan di atas, bilangan 3 dan 8 menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).
Dalam himpunan terdapat:
- Himpunan hingga adalah himpunan yang memiliki anggota hingga (finite set) Contoh A ={1, 2, 3, 4}
- Himpunan tak hingga adalah himpunan yang memiliki anggota tak hingga (infinite set). Contoh B ={1, 2, 3, 4, …}
- Kardinalitas Himpunan hanya untuk himpunan yang hingga (finite set).
Himpunan Bagian
Untuk menemukan konsep himpunan bagian, amati Masalah 2.5 dan penyelesaian
https://smpmariamediatrix.sch.id/ekstra/
Seluruh siswa kelas VIIG SMP 23 Semarang berjumlah 32 orang yang terdiri dari 15 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. 10 siswa laki-laki gemar sepak bola, 5 siswa laki-laki gemar bola voli, 9 siswa perempuan gemar menari, dan 8 siswa perempuan gemar menyanyi
Tentukan semua himpunan bagian yang mungkin dari masalah tersebut dan gambarlah diagram Venn-nya.
Penyelesaian:
Dari permasalahan diatasi diperoleh penyelesaian:
Jika S adalah himpunan semesta, A adalah himpunan siswa laki-laki, B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar sepak bola, D adalah himpunan siswa laki-laki yang gemar bola voli, E adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, dan F adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menyanyi, maka
- Himpunan A adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
A ⊂ S - Himpunan B adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
B ⊂ S - Himpunan C adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
C ⊂ S - Himpunan D adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
D ⊂ S - Himpunan E adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
E ⊂ S - Himpunan F adalah himpunan bagian dari S, dan dilambangkan dengan
F ⊂ S - Himpunan C adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
C ⊂ A - Himpunan D adalah himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
D ⊂ A - Himpunan E adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
E ⊂ B - Himpunan F adalah himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
F ⊂ B - Himpunan C bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
C ⊄ B - Himpunan D bukan himpunan bagian dari B, dan dilambangkan dengan
D ⊄ B - Himpunan E bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
E ⊄ A - Himpunan F bukan himpunan bagian dari A, dan dilambangkan dengan
F ⊄ A
Dari permasalahan diatas dapat disimpulkan bahwa
Misalkan dan adalah himpunan. Jika setiap elemen dari juga merupakan elemen dari , maka kami katakan adalah himpunan bagian dari .Himpunan bagian atau subset disimbolkan dengan “ ⊆ ”. Bukan himpunan bagian disimbolkan dengan “ ⊈ “
Himpunan Kuasa
https://www.nusabali.com/berita/84522/tiga-siswa-sma-asal-bali-juara-debat-nasional
Untuk memahami konsep himpunan kuasa, coba amati dan cermati masalah 6 beserta penyelesaiannya
Perwakilan Olimpiade SMP
SMA Al Amin akan mempersiapkan dua orang siswanya, Ningsih dan Taufan untuk mengikuti olimpiade matematika SMA tingkat provinsi. Persyaratan untuk mengikuti olimpiade adalah sekolah boleh mengirimkan satu orang siswa atau lebih dan boleh tidak mengirimkan wakilnya untuk mengikuti olimpiade tersebut.
Berapa banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin untuk mengirimkan wakilnya mengikuti olimpiade matematika tersebut?
Penyelesaian:
Dari permasalahan diatas diperoleh penyelesaian:
Banyak cara yang dilakukan SMA Al Amin dalam mengikuti olimpiade matematika tersebut adalah sebagai berikut.
- Cara pertama : Tidak mengirimkan siswa mengikuti olimpiade.
- Cara kedua : Hanya mengirimkan Ningsih mengikuti olimpiade.
- Cara ketiga : Hanya mengirimkan Taufan mengikuti olimpiade.
- Cara keempat : Mengirimkan Ningsih dan Taufan secara bersamasama mengikuti olimpiade.
Maka, ada 4 cara pengiriman yang dapat dilakukan SMA Al Amin untuk mengikuti olimpiade tingkat provinsi.
Jika A adalah himpunan siswa SMP Al Amin yang akan mengikuti olimpiade matematika tingkat provinsi, maka A = {Ningsih, Taufan}.
Misalkan himpunan siswa yang akan dikirim mengikuti olimpiade dari keempat cara pengiriman adalah himpunan B untuk cara I, himpunan C untuk cara II, himpunan D untuk cara III, dan himpunan E untuk cara IV, maka
- Cara pertama : Himpunan B = { }
- Cara kedua : Himpunan C = {Ningsih}
- Cara ketiga : Himpunan D = {Taufan}
- Cara keempat : Himpunan E = {Ningsih, Taufan}
Dengan demikian dapat dikatakan sebagai berikut.
- Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A.
- Himpunan C merupakan himpunan bagian dari A.
- Himpunan D merupakan himpunan bagian dari A.
- Himpunan E merupakan himpunan bagian dari A.
- Berdasarkan uraian di atas, maka anggota-anggota himpunan bagian dari A adalah {{ }, {Ningsih}, {Taufan}, {Ningsih, Taufan}}.
Semua himpunan bagian dari suatu himpunan dinamakan dengan himpunan Kuasa, sehingga dapat disimpulkan bahwa
Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).
Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai n anggota ternyata mempunyai hubungan dengan pola bilangan pada segitiga Pascal, yang digambarkan sebagai berikut.