2.1 Konsep Himpunan

🔊 play Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal kata “kumpulan”, contohnya:

a. Kumpulan siswa perempuan
b. Kumpulan siswa laki-laki
c. Kumpulan semua siswa di suatu kelas yang mengikuti pramuka
d. Kumpulan semua siswa yang lahir pada bulan Juli
e. Kumpulan semua siswa yang mengikuti KSN bidang Matematika tahun 2021

Istilah dalam matematika yang maknanya sama dengan “kumpulan” adalah himpunan. Namun, tidak semua kumpulan termasuk himpunan. Contohnya:

1. Kumpulan siswa yang pandai
2. Kumpulan siswa yang berbadan tinggi
3. Kumpulan pelajaran yang disenangi siswa

Perhatikan permasalahan berikut:

🔊 play

Dari 28 siswa yang mengikuti kegiatan ekstrakurikuler di sekolah, 15 anak mengikuti pramuka, 12 anak mengikuti futsal dan 7 anak mengikuti keduanya, banyak siswa yang tidak mengikuti pramuka maupun futsaladalah

Masalah 1 dapat diselesaikan setelah kita belajar materi dalam bab ini. Selain itu, kita dapat memiliki kemampuan untuk:

1. membedakan himpunan dan bukan himpunan
2. memberikan contoh himpunan dan menyajikan himpunan,
3. memberikan contoh himpunan semesta,
4. menentukan kardinalitas dari suatu himpunan,
5. menentukan himpunan yang merupakan himpunan bagian, atau sama dengan himpunan lainnya.
6. menentukan himpunan kuasa dari suatu himpunan,
7. menentukan hasil operasi biner pada himpunan (irisan, gabungan, dan selisih), dan operasi uner (komplemen),
8. menemukan sifat-sifat operasi tersebut,
9. menyelesaikan masalah-masalah berkaitan dengan himpunan.

Penyajian Himpunan

🔊 play

          Kata “kumpulan” atau “himpunan” berpadanan dengan kata “group”, “collection”, atau “set” dalam bahasa Inggris. Kata tersebut bisa berbeda di bahasa lainnya. Bayangkan dalam suatu ruangan, ada tiga orang dengan bahasa yang berbeda-beda berbicara, tetapi tidak saling mengerti, pasti kacau bukan? Begitu pula, akan sulit bagi kita jika bahasa yang digunakan berbeda-beda untuk suatu istilah matematika yang sama.

          Para ahli matematika mempunyai solusi untuk itu yaitu membuat suatu notasi atau istilah tertentu yang jika dibaca oleh semua orang memiliki makna yang sama yaitu himpunan. Itulah sebabnya matematika dikatakan sebagai bahasa universal dari makna dalam kehidupan sehari-hari. Himpunan disimbolkan dengan huruf besar miring, contohnya 𝐴, 𝐵, atau C.

          Ada 4 cara menyatakan himpunan dalam matematika yaitu:

1. Mendaftarkan atau menyebutkan anggotanya (enumerasi)
2. Kalimat yang menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya
3. Notasi pembentuk himpunan

Diagram venn (yang akan dipelajari dalam sub bab selanjutnya)

Himpunan Semesta dan Himpunan Kosong

🔊 play

Guru akan memilih empat orang siswa untuk diseleksi sebagai perwakilan lomba KSN Bidang Matematika 2021. Empat orang siswa tersebut adalah Namira, Hendrisa, Maria, dan Auliayang  memiliki kesempatan sama untuk menjadi perwakilan lomba KSN Bidang Matematika 2021. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka pembimbing KSN bidang matematika memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian.

Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah sebagai berikut

1. Menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;
2. Menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari 0 dan kurang dari 1;
3. Menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;
4. Menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

Pemenangnya adalah siswa yang dapat menemukan paling sedikit satu anggota himpunannya. 🔊 play

Setelah pengundian, Namira mendapatkan pertanyaan nomor 2, Hendrisa mendapat pertanyaan nomor 3, Maria mendapat pertanyaan nomor 1, dan Aulia mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinan menjadi pemenang?

Penyelesaian:
Perhatikan keempat pertanyaan pada masalah 2.2. Penyelesaian keempat pertanyaan itu adalah sebagai berikut.

1. Bilangan cacah yang kurang dari 0.
   Ingat kembali bilangan cacah yang telah kalian pelajari waktu SD? Anggota bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Maria adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
2. Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1.
   Tidak ada satupun bilangan bulat antara 0 dan 1, sehingga himpunan yang diperoleh Namira adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
3. Bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
   Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Sehingga himpunan yang diperoleh Hendrisa adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.
4. Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.
   Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2. Dengan demikian, himpunan yang diperoleh Aulia adalah himpunan yang banyak anggotanya tepat satu, yaitu {2}.

🔊 play

Berdasarkan keterangan tersebut, yang dapat menentukan anggota himpunan tepat satu adalah Aulia. Dengan demikian Aulia terpilih menjadi perwakilan lomba KSN bidang Matematika 2021. Sementara Namira, Hendrisa, dan Maria tidak menemukan anggota himpunan atau disebut dengan himpunan kosong.
Salah satu karakteristik matematika adalah memperhatikan semesta pembicaraannya. Penyelesaian suatu masalah dalam matematika dimungkinkan akan berbeda jika semesta pembicaraannya berbeda. Demikian juga anggota himpunan tertentu ditentukan oleh semestanya. Maka dapat disimpukan bahwa:

• Himpunan dari semua unsur atau objek yang dibicarakan disebut Himpunan semesta yang disimbolkan dengan 𝑆. Himpunan semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan U.
• Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong disimbolkan  atau ∅.

Diagram Venn

🔊 play

Cara menyajikan himpunan yang keempat juga bisa dinyatakan dengan gambar atau diagram yang disebut dengan Diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn (1834 – 1923). Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:

1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan di sudut kiri atas.
2. Setiap himpunan yang ada dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana.
3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan titik.
4. Bila anggota suatu himpunan mempunyai banyak anggota, maka anggotaanggotanya tidak perlu dituliskan.

Perhatikan permasalahan berikut:

🔊 play Pemberian Tugas

Guru menugaskan dua orang siswa sebagai pengganti tugas remidial, untuk menuliskan himpunan bilangan positif yang kurang dari 10. Kayla hanya diminta untuk menuliskan himpunan bilangan prima, dan Mia diminta menuliskan himpunan bilangan yang genap positif. Bantulah kedua siswa itu mengerjakan tugasnya. Lalu, gambarkan dalam diagram venn.

Penyelesaian:

Misal:

S = menyatakan himpunan semesta, menuliskan himpunan bilangan yang kurang dari 10

K = menyatakan himpunan yang Ikhsan tulis

M = menyatakan himpunan yang Mia tulis

Maka,

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

K = {2, 3, 5, 7}

M = {2, 4, 6, 8}