2.3 Operasi Himpunan

🔊 play

Irisan (Intersection)

🔊 play Kunjungan ke Perpustakaan

Suatu kelas dengan 11 siswa melakukan kunjungan ke Perpustakaan sekolah diwaktu jam istirahat berlangsung. Ada dua macam bacaan yang biasanya siswa baca yaitu bacaan fiksi dan non-fiksi. Setiap siswa bisa memilih lebih dari satu buku.

Berikut pilihan siswa-siswa tersebut. 🔊 play Kata “dan” pada cerita ini memiliki makna: “kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “baca buku fiksi dan non-fiksi”, artinya membaca kedua-duanya.
Pada masalah sebelumnya, himpunan siswa-siswa yang membaca buku fiksi (K):
𝐾 ={ AS, JD, TL, RK, BR, CP, ST }
dan yang memilih membaca buku non-fiksi (𝑂): 𝑂 = {JD, TL, DM, BR, MN, ST, WL, HV}
Siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O adalah mereka yang memilih kedua-keduanya yaitu
JD, TL, BR, dan ST.
Himpunan siswa-siswa yang memilih membaca buku K dan O dalam matematika disimbolkan
𝑲⋂𝑶 (dibaca “himpunan 𝐾 irisan 𝑂”)
sehingga 𝐾⋂𝑂 = {JD, TL, BR, ST}
Jadi, kata “dan” dalam kehidupan sehari-hari disimbolkan ⋂ (irisan) dalam matematika.
Operasi irisan dapat dinyatakan dengan diagram Venn.

🔊 play Pada diagram di atas, siswa JD adalah anggota himpunan 𝐾 ⋂ 𝑂, ditulis JD ∈ 𝐾 ⋂ 𝑂. karena JD ∈ 𝐾 dan JD ∈ 𝑂 (JD anggota dari 𝐾, dan JD anggota dari 𝑂)
Jadi, disimpulkan bahwa 🔊 play

Irisan dari dua himpunan S dan T, dinotasikan S∩T, merupakan himpunan yang memuat anggota yang sama dari himpunan S dan himpunan T. Dengan kata lain, s∈S∩T jika dan hanya jika s∈S dan s∈T.

Gabungan (Union)

🔊 play Sama seperti sebelumnya, makna operasi gabungan juga ada dalam kata di kehidupan sehari-hari yaitu “atau”. Kata “atau” memiliki makna: “bisa memilih salah satu atau kedua-duanya”. Contohnya, kalimat “boleh ambil donat atau roti”, artinya bisa mengambil donat saja, roti saja, atau kedua-duanya.

[responsivevoice voice="Indonesian Male" buttontext="play"]Ekstrakurikuler

Dalam satu kelas terdapat 20 siswa gemar sepak bola, 12 siswa bola voli, 5 siswa gemar keduanya, dan 2 siswa tidak gemar keduanya.

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut
2. Berapa banyak siswa dalam kelas tersebut

🔊 play Penyelesaian:

Bersadarkan permasalahan diatas, maka penyelesaiannya adalah:

Misalnya

S = {banyak siswa di kelas tersebut}

A ={banyak siswa yang gemar sepak bola}

B ={banyak siswa yang gemar bola voli}

Maka diagram Venn dari keterangan di atas adalah

Banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 15 + 5 + 7 + 2 = 29 Jadi, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah 29 siswa.

Berdasarkan permasalahan diatas, dapat disimpulkan bahwa

🔊 play Gabungan dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat seluruh anggota dari himpunan  dan himpunan , dimana jika ada anggota yang sama maka ditulis satu kali. Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .

Komplemen

🔊 play Gabungan, Irisan, dan Selisih adalah contoh dari operasi biner, yaitu operasi yang memerlukan dua unsur untuk dioperasikan. Selain operasi biner ada operasi uner yang hanya memerlukan satu unsur, yaitu operasi komplemen. Berbeda dengan operasi biner yang semestanya tidak perlu ditetapkan, maka operasi komplemen memerlukan ditetapkannya himpunan semesta. Tanpa himpunan semesta, operasi komplemen ini tidak bisa dilakukan. Sebenarnya operasi komplemen ini mirip dengan operasi selisih, hanya saja yang dicari adalah selisih dari semesta dari himpunan tertentu.

 Pemilihan calon ketua OSIS

🔊 play Di SMPN 2 Purnama akan ada pemilihan ketua OSIS. Bakal calon ketua OSIS akan dipilih 3 dari 6 kandidat yang memenuhi syarat, diantanya adalah Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, dan Retno. Pak Yanuar dan Pak Muhtarom adalah pembina OSIS dan wakil kepala sekolah bagian kesiswaan. Pak Yanuar mengusulkan Aldo, Dwi, dan Fidela. Pak Muhtarom mengusulkan Lafran, Putri, dan Aldo.

Tentukan:

1. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar
2. Bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom

🔊 play Penyelesaian:

Berdasarkan permasalahan diatas, diperoleh penyelesaian:

Misalkan:

S adalah himpunan semua kandidat bakal calon ketua OSIS

A adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Yanuar

B adalah himpunan semua kandidat yang diusulkan Pak Muhtarom

🔊 play Maka himpunan-himpunan itu adalah:

S = {Aldo, Lafran, Dwi, Putri, Fidela, Retno }

A = {Aldo, Dwi, Fidela}

B = {Aldo, Lafran, Putri}

• Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Yanuar adalah P. P adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan P, yang anggotanya bukan anggota himpunan A, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu P ={Lafran, Putri, Retno}
• b. Misalkan himpunan bakal calon ketua OSIS yang tidak diusulkan Pak Muhtarom adalah Q. Q adalah himpunan yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S. Untuk menentukan anggota himpunan Q, yang anggotanya bukan anggota himpunan B, tetapi anggotanya pada himpunan S, yaitu Q ={Dwi, Fidela Retno}

Berdasarkan hal tersebut himpunan P dan Q disebut komplemen himpunan.

🔊 play Misalkan S adalah himpunan semesta dan A adalah suatu himpunan. Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan semua anggota himpunan S yang bukan anggota himpunan A, dinotasikan dengan  . Notasi pembentuk himpunan  = {x | x ∈ S tetapi x ∉ A}

Selisih

🔊 play Makna “selisih” dalam kehidupan sehari-hari adalah “beda”. Contohnya, suatu kelas memiliki dua kelompok yaitu
Kelompok 𝐴 dengan anggota: Andi, Anto, Anyu, Alan, dan Amir
Kelompok 𝐵 dengan anggota: Bayu, Budi, Bambang, dan Bowo
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 (anggota-anggota dari 𝐴 yang tidak ada di 𝐵) adalah pada kelompok A ada Andi, Anto, Anyu, Alan dan Amir, sedangkan pada kelompok 𝐵 tidak ada nama-nama tersebut.
Beda kelompok 𝐵 terhadap 𝐴 dinyatakan dengan
selisih 𝐵 terhadap 𝐴, ditulis 𝐴 − 𝐵.
sehingga 𝐴 − 𝐵 = Andi, Anto, Anyu, Alan, Amir = 𝐴.
Perhatikan permasalahan berikut 🔊 play Pelajaran kesenangan

Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.

Tentukan:

1. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas.
2. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?
3. Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?
4. Berapa banyak siswa dalam kelas itu?

🔊 play Penyelesaian:

           Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan

Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.

Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.

Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25

Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.

Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.

Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.

A ∩ B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A ∩ B) = 10.

🔊 play a. Diagram Venn

[responsivevoice voice="Indonesian Female" buttontext="play"]b. Siswa yang hanya senang pelajaran matematika

Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(A) = n(M) + n(A ∩ B)
30 = n(M) + 10
n(M) = 30 – 10 = 20
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.

🔊 play c. Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.
Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.
n(B) = n(F) + n(A ∩ B)
25 = n(F) + 10
n(F) = 25 – 10 = 15
Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.

🔊 play d. Banyak siswa dalam kelas
Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar keduaduanya.
n(S) = n(M) + n(F) + n(A ∩ B)
= 20 + 15 + 10 = 45
Maka, banyak siswa kelas itu adalah 45 orang.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

🔊 play Selisih dari dua himpunan  dan , dinotasikan , merupakan himpunan yang memuat semua anggota himpunan  tetapi bukan anggota dari himpunan . Dengan kata lain,  jika dan hanya jika  atau .